A razão prateada δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421 é a solução positiva de x² = 2x + 1. É o segundo membro da família das médias metálicas: a razão áurea satisfaz x² = x + 1 (todos 1s na fração contínua), enquanto a razão prateada usa todos 2s.
Os números de Pell 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… são definidos por Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂. Suas razões convergem para δₛ, assim como as razões de Fibonacci convergem para φ. A razão prateada governa a geometria do octógono regular e de mosaicos com simetria de 8 lados.
The red diagonal connects vertices 3 apart (skipping 2). The green side is one edge. Their ratio is exactly 1 + √2 ≈ 2.414, the silver ratio. This is the octagon equivalent of the golden ratio diagonal in a pentagon.
A razão prateada possui autossimilaridade: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯)). Remover dois quadrados unitários de um retângulo δₛ × 1 deixa um retângulo menor com as mesmas proporções.
A0, A1, A2… each sheet is half the previous. The ratio 1:√2 is the only ratio that survives halving. Fold a 1:√2 sheet: you get a √2:1 sheet, the same proportions rotated. √2 = δₛ - 1, linking the paper series directly to the silver ratio.