Starting from x=0.5, repeatedly applying e^(−x) converges to Ω ≈ 0.5671. The fixed point satisfies Ω = e^(−Ω), equivalently Ω·e^Ω = 1.
| Iteration | x | e^(−x) | |x − Ω| |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,5 | 0,60653 | 0,067 |
| 2 | 0,60653 | 0,54545 | 0,022 |
| 3 | 0,54545 | 0,57970 | 0,008 |
| 4 | 0,57970 | 0,56007 | 0,003 |
| 5 | 0,56007 | 0,57121 | 0,001 |
| … | … | … | → 0 |
| ∞ | Ω | Ω | 0 |
Ômega pode ser calculada pelo método de Newton aplicado a f(x) = x*e^x - 1, ou pela iteração simples Ω(n+1) = e^(-Ω_n), que converge a partir de qualquer valor inicial positivo. Começando em 1.0 obtemos: 0.3679, 0.6922, 0.5002, 0.6065, 0.5452, ... convergindo para Ω ≈ 0.56714. Cerca de 10 iterações dão 6 casas decimais corretas.
Ômega satisfaz a torre infinita: Ω = e^(-e^(-e^(-...))). Uma pilha infinita de exponenciais negativas converge para Ω. Isso decorre diretamente da fórmula iterativa: o ponto fixo da aplicação x ↦ e^(-x) é exatamente Ω.
A constante ômega satisfaz Ω * e^Ω = 1, então Ω ≈ 0.56714. É o valor da função W de Lambert em 1 e satisfaz e^(-Ω) = Ω. A iteração simples Ω_novo = e^(-Ω_antigo) converge a partir de qualquer valor inicial positivo. Ômega é transcendental. Também satisfaz a torre infinita Ω = e^(-e^(-e^(-...))). Aparece na análise de algoritmos e em soluções de equações diferenciais com atraso.