√2 é o comprimento da diagonal de um quadrado unitário. Coloque um quadrado de lado 1 sobre a mesa. A distância de um canto ao oposto é exatamente √2. Esse é o exemplo geométrico mais simples de um número que não pode ser escrito como fração.
Os pitagóricos descobriram por volta de 500 a.C. que √2 não pode ser expresso como fração p/q com p e q inteiros. A prova por contradição é elegante: suponha √2 = p/q em termos irredutíveis. Então p² = 2q², logo p é par. Escreva p = 2k. Então q também é par, contradizendo o fato de a fração estar reduzida.
Convergentes da fração contínua [1; 2, 2, 2, …]. Cada fração é a melhor aproximação racional com esse denominador.
Convergents of square root of 2 from continued fraction
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 é algébrico (satisfaz x² = 2), mas irracional. Em trigonometria: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. A série de papéis A (A4, A3, A2…) usa a razão 1:√2, de modo que dobrar uma folha ao meio preserva o formato.
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
A raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1.41421356237309504880. Foi o primeiro número cuja irracionalidade foi provada, pelos gregos antigos por volta de 500 a.C. É a diagonal de um quadrado de lado 1 e satisfaz x² = 2. Sua fração contínua [1; 2, 2, 2, ...] produz as melhores aproximações racionais, como 99/70 e 239/169. Aparece no triângulo 45°-45°-90° e na proporção do papel A.
Raiz quadrada de 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the fração contínua.