ζ(3) é o valor da função zeta de Riemann em 3: a soma de 1/n³ sobre todos os inteiros positivos. Para entradas pares, Euler encontrou belas formas fechadas: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Para entradas ímpares, nenhuma fórmula desse tipo é conhecida. Nem sequer sabemos se ζ(3) envolve π.
z(3) fica entre dois valores com formas fechadas conhecidas envolvendo pi. Continua desconhecido se z(3) envolve pi.
Em 1978, Roger Apéry anunciou uma demonstração de que ζ(3) é irracional. A plateia ficou cética. Henri Cohen e outros matemáticos correram para casa para verificá-la em computadores durante a noite. Na manhã seguinte, confirmaram que estava correta. “Foi como um trovão num céu limpo”, disse um dos presentes. Apéry tinha 64 anos.
As somas parciais 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... aproximam-se de ζ(3) ≈ 1,20206 por baixo. A convergência é lenta: mesmo em n=50, a soma ainda está a 0,003 do valor.
A grande questão em aberto é saber se ζ(3) pode ser expresso em termos de π. Todos os valores zeta pares são múltiplos racionais da potência correspondente de π. Os valores ímpares parecem viver num mundo diferente. Sabe-se que infinitos valores ímpares ζ(2n+1) são irracionais (Rivoal, 2000), mas o padrão exato continua misterioso. Valor completo: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = número racional × π^(2k) para todo k par. Euler provou isso para todos os valores pares. Mas ζ(3), ζ(5), ζ(7)... são completamente diferentes. ζ(3) é irracional (Apéry), porém nenhuma relação com π é conhecida. Pode ser realmente independente de π.
Tabela mostrando que zeta em inteiros pares tem fórmulas com pi, enquanto os inteiros ímpares continuam desconhecidos
| s par: fórmulas exatas | s ímpar: mistério |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irracional (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irracional? desconhecido |
| Todos = racional × π^s | Nenhuma ligação conhecida com π |
Desconhecido. Roger Apéry provou em 1978 que zeta(3) é irracional, mas continua em aberto saber se é transcendental. Acredita-se amplamente que sim, porém ainda não há demonstração.
Na eletrodinâmica quântica (correções do momento magnético do elétron), na teoria de matrizes aleatórias e na entropia do modelo de Ising bidimensional. Também aparece nas distribuições de Fermi-Dirac e Bose-Einstein na mecânica estatística.
Ramanujan encontrou séries de convergência rápida para zeta(3), incluindo uma fórmula envolvendo 7pi^3/180 e somas sobre exponenciais. Seus cadernos continham dezenas de identidades relacionadas com zeta(3), muitas delas provadas apenas décadas após sua morte.
Inteiros A(n) = soma de C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 em k, que aparecem na demonstração de irracionalidade de Apéry. Os primeiros são 1, 5, 73, 1445, 33001. Eles satisfazem uma relação de recorrência e crescem de uma forma que força os denominadores das somas parciais de 1/n^3 a cancelar fatores específicos, tornando o limite irracional.
A constante de Apéry zeta(3) é a soma 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Para valores pares de s, Euler encontrou formas fechadas envolvendo pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Para valores ímpares nenhuma fórmula desse tipo é conhecida. Roger Apéry provou em 1978, aos 64 anos, que zeta(3) é irracional. Continua desconhecido se ela é transcendental ou se pode ser expressa em termos de pi.