φ (phi) é a solução positiva de x² = x + 1. Essa equação tem um significado geométrico: se você divide um segmento de reta de modo que a razão entre o todo e a parte maior seja igual à razão entre a parte maior e a menor, essa razão é φ. Nenhum outro número tem essa propriedade de autossimilaridade.
Table of Fibonacci ratios converging to phi
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
A razão áurea aparece no pentágono regular e no pentagrama, onde as diagonais se cruzam na proporção áurea. Cada número de Fibonacci dividido pelo anterior aproxima-se de φ. A fração contínua [1; 1, 1, 1, …] é a fração contínua infinita mais simples: todos os termos são 1. Isso faz de φ o número mais difícil de aproximar por frações, daí o apelido de “número mais irracional”.
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ satisfaz φ² = φ + 1, logo φ = 1 + 1/φ. Substituindo repetidamente: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Essa fração contínua infinita de uns é ao mesmo tempo a definição e a razão de seu estatuto de “mais irracional”. Valor calculado com precisão completa: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
A razão áurea phi é aproximadamente 1.61803398874989484820. É a solução positiva de x² = x + 1. Phi é irracional, algébrica e a razão limite entre números consecutivos de Fibonacci. Aparece no pentágono regular e no icosaedro, nas espirais das sementes de girassol e em proporções estudadas desde a Grécia antiga. Sua fração contínua [1; 1, 1, 1, ...] faz dela o número real mais difícil de aproximar com frações, razão pela qual a filotaxia usa o ângulo áureo derivado de phi.
Razão áurea φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the fórmula quadrática.