Todo o número real tem uma fração contínua: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Os inteiros a₁, a₂, a₃, … são os quocientes parciais. Para π eles são 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Para √2 são 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periódica, tudo 2). Khinchin provou em 1934 que, para quase todo o número real, a média geométrica dos quocientes parciais converge para a mesma constante K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). O quociente parcial 1 aparece em cerca de 41% de todas as expansões em frações contínuas de números reais aleatórios.
A fórmula de K₀ é K₀ = ∏(k=1 até ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), que converge extremamente devagar. O teorema de Khinchin é um exemplo de um resultado verdadeiro para quase todos os números mas que não pode ser verificado para uma única constante específica. Não conseguimos exibir um único caso confirmado de um número que o satisfaça.
Em k=3, mais de dois terços de todos os quocientes parciais já estão contabilizados. A sequência converge lentamente para 1.
O facto de 1 dominar (41,5%) explica por que K₀ ≈ 2,685 é menor do que 3: os valores pequenos puxam a média geométrica para baixo. Se todos os dígitos de 1 a 9 fossem igualmente prováveis, a média geométrica seria (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. O peso enorme dado ao 1 torna K₀ consideravelmente menor.
A constante de Khinchin K0 ≈ 2,68545 é um limite universal: para quase todo o número real x = [a0; a1, a2, ...], a média geométrica dos quocientes parciais (a1*a2*...*an)^(1/n) converge para K0. Foi provada por Khinchin em 1934. O aspeto impressionante é a universalidade: quase todos os números partilham esta média geométrica, mas o resultado não pode ser verificado para nenhuma constante específica conhecida como pi ou e. Continua desconhecido se K0 é algébrico ou transcendente.