Um número complexo tem duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. A unidade imaginária i satisfaz i² = -1. Todo número real é um número complexo com b = 0. Os números complexos preenchem um plano bidimensional em vez de uma linha unidimensional, dando a toda equação polinomial exatamente tantas raízes quanto o seu grau.
Multiplicar por i é uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário. Multiplicar por i duas vezes (isto é, por i²) é uma rotação de 180 graus, que transforma 1 em -1. Portanto, i² = -1 não é um truque algébrico; é uma rotação.
Sobre os números reais, x²+1=0 não tem solução. Sobre os complexos, tem duas: i e -i. O Teorema Fundamental da Álgebra diz: ao estender para os números complexos, todo polinómio de grau n tem exatamente n raízes.
Tabela mostrando polinómios sobre os reais versus complexos, demonstrando que todo polinómio de grau n tem exatamente n raízes complexas
| POLINÓMIO | RAÍZES REAIS | COMPLEXO |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 raízes reais | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 raiz real | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 raízes reais | 4 |
| Todo polinómio de grau n tem exatamente n raízes complexas (contando multiplicidades) |
Os números complexos estendem a reta real a um plano bidimensional ao introduzir i, onde i ao quadrado é igual a -1. Todo número complexo z = a + bi tem parte real a, parte imaginária b, módulo |z| = sqrt(a ao quadrado + b ao quadrado) e argumento arg(z) = atan(b/a). A multiplicação por e^(i*theta) corresponde a uma rotação de theta radianos. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinómio de grau n tem exatamente n raízes complexas, contando multiplicidades. Os números complexos são a base da mecânica quântica, do processamento de sinais e da identidade de Euler.