A matemática construiu cinco sistemas numéricos principais, cada um sendo uma extensão do anterior. Cada extensão foi motivada por uma equação sem solução: “quanto é 3-5?” exigiu os inteiros; “quanto é 1/3?” exigiu os racionais; “quanto é sqrt(2)?” exigiu os reais; “quanto é sqrt(-1)?” exigiu os complexos.
Table showing properties gained and lost when extending number systems
| SYSTEM | GEWONNEN | VERLOREN ODER VERÄNDERT |
|---|---|---|
| N, natürliche Zahlen | Zählen, +, × | keine Subtraktion |
| Z, ganze Zahlen | Subtraktion, Negative | keine Division |
| Q, rationale Zahlen | Division, Brüche | kein √2 |
| R, reelle Zahlen | alle Grenzwerte, √2, π | kein √(-1) |
| C, komplexe Zahlen | alle Polynomnullstellen | algebraisch abgeschlossen |
| H, Quaternionen | Drehungen im 3D-Raum | ab ist nicht gleich ba |
| Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung |
Blue: natural numbers ℕ. Green adds 0. Purple extends to negative integers ℤ. Orange adds fractions ℚ. Red: irrationals fill the rest of ℝ.
A matemática tem cinco sistemas numéricos principais: naturais N (contagem, sem subtração), inteiros Z (adicionam subtração e negativos), racionais Q (adicionam divisão), reais R (adicionam limites e irracionais) e complexos C (adicionam sqrt(-1)). Cada extensão resolveu uma equação insolúvel no sistema anterior. Os números complexos são algebricamente fechados: toda equação polinomial tem solução dentro de C. A inclusão é estrita: N dentro de Z dentro de Q dentro de R dentro de C, com os transcendentais preenchendo a borda externa de R.