A aproximação de Stirling diz que, para n grande, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. A presença simultânea de π e e em uma fórmula sobre contagem de permutações é impressionante. Para n = 10 o erro fica abaixo de 1%. Para n = 100, abaixo de 0,1%. A fórmula melhora sem limite à medida que n cresce.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre encontrou em 1730 que n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ para alguma constante C. James Stirling identificou C = √(2π) no mesmo ano. O fator √(2π) surge da integral gaussiana: ao derivar Stirling via a função Gamma, a integral ∫e^(-t²)dt = √π aparece e leva π para dentro da fórmula.
A forma logarítmica é usada em toda a física: na mecânica estatística, a fórmula da entropia de Boltzmann S = k·ln(W) exige ln(N!) para N enormes (moles de partículas). Stirling fornece ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, tornando o cálculo tratável. A série assintótica completa acrescenta correções: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.