O problema da Basileia pergunta: qual é o valor exato de 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? A série converge, mas para quê? Pietro Mengoli a propôs em 1650. Ela derrotou todos os matemáticos durante 84 anos, até Euler a resolver em 1734, aos 28 anos.
As somas parciais aproximam-se lentamente de π²/6 ≈ 1,6449. Euler provou em 1734 que o limite é π²/6, ligando a análise à geometria.
A demonstração de Euler fatorou a série de Taylor de sin(x)/x como um produto infinito sobre as suas raízes ±π, ±2π, ±3π… Ao comparar o coeficiente de x² na forma em produto com o coeficiente da série de Taylor, obtém-se diretamente Σ 1/n² = π²/6. É um dos cálculos mais célebres da matemática, e a razão pela qual π aparece aqui não é coincidência: círculos e esferas têm ligações naturais com somas sobre inteiros através da função zeta de Riemann.
Cada termo 1/n^2 diminui rapidamente. A soma converge exatamente para pi^2/6 ~1,6449.
O resultado generaliza-se: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, e todos os valores zeta pares são múltiplos racionais de potências de π. Os valores ímpares ζ(3), ζ(5), ζ(7)… são muito mais misteriosos. Apéry provou em 1978 que ζ(3) é irracional, mas não se conhece nenhuma forma fechada em termos de π.
A probabilidade de dois inteiros escolhidos ao acaso não terem fator comum (serem coprimos) é exatamente 6/pi^2, o recíproco de pi^2/6. Isso dá aproximadamente 60,8%. O resultado liga diretamente o problema da Basileia à teoria dos números e à probabilidade.