Todo o número real tem melhores aproximações racionais: frações p/q que se aproximam mais de x do que qualquer fração com denominador menor. Os denominadores q₁, q₂, q₃, … crescem, mas a que ritmo? Paul Lévy provou em 1935 que, para quase todo o número real, qₙ^(1/n) converge para e^β ≈ 3,27582, onde β = π²/(12 ln 2).
Para quase todos os números reais, ln(qₙ) cresce linearmente com declive β ≈ 1,1865. Os denominadores dos convergentes de π (1,7,106,113,33102…) crescem em média mais depressa devido ao quociente parcial anómalo 292.
A razão áurea φ = [1;1,1,1,…] tem denominadores de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … crescendo à taxa φ ≈ 1,618 por passo. Isto é muito mais lento do que e^β ≈ 3,276, razão pela qual φ é o número "mais irracional": as suas aproximações melhoram o mais lentamente possível. A maioria dos números tem denominadores que crescem muito mais depressa, à taxa e^β.
Comparação das taxas de crescimento dos denominadores para a razão áurea versus um número típico
| φ = [1;1,1,1,…] | Typische Zahl |
|---|---|
| qₙ wächst wie φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ wächst wie (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Langsamstmögliches Wachstum | Lévys Satz |
O valor β = π²/(12 ln 2) surge ao integrar a distribuição de Gauss-Kuzmin. O ln 2 vem de trabalhar em base 2 (binário), e π² aparece pelas mesmas razões que em ζ(2) = π²/6. Constante de Lévy: 1,1865691104156254… e^β = 3,275822918721811159787681882…
O quociente parcial 292 no passo 5 faz os denominadores de π crescerem muito mais depressa do que a média. Para um número “típico”, a razão ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Teilnenner aₙ | Konvergente pₙ/qₙ | Nenner qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
A constante de Lévy beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Para quase todo o número real, o denominador qn do n-ésimo convergente satisfaz qn^(1/n) → e^beta ≈ 3,27582. Foi provada por Paul Lévy em 1935. A razão áurea, com denominadores de Fibonacci a crescer à taxa phi ≈ 1,618, fica muito abaixo da média, confirmando-a como o número mais difícil de aproximar. A fórmula combina pi e ln 2, ligando a geometria do círculo aos logaritmos através da distribuição de Gauss-Kuzmin.