Um número é transcendental se não for raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Pi não satisfaz nenhuma equação como x^2 - 3x + 1 = 0. E também não satisfaz tal equação. Eles existem além do alcance da álgebra. Embora seja raro conseguir nomeá-los, os números transcendentais são a regra, não a exceção: quase todo número real é transcendental.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| ZAHL | MINIMALPOLYNOM |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | kein Polynom existiert |
| e = 2,71828... | kein Polynom existiert |
| e^π = 23,1406... | kein Polynom existiert |
Um número é transcendental se não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Liouville deu o primeiro exemplo explícito em 1844. Hermite provou que e é transcendental em 1873. Lindemann provou que pi é transcendental em 1882, resolvendo definitivamente o antigo problema da quadratura do círculo como impossível. O teorema de Gelfond-Schneider (1934) mostra que a^b é transcendental sempre que a é algébrico e diferente de 0 e 1, e b é algébrico e irracional. Apesar de serem a regra, provar que um número específico é transcendental continua sendo extremamente difícil.