Uma fração contínua expressa um número como um inteiro mais o recíproco de outra fração contínua. Todo número real tem uma expansão única em fração contínua. Os números racionais terminam; os irracionais quadráticos repetem-se periodicamente; transcendentais como pi não seguem padrão. Os convergentes (aproximações racionais obtidas ao truncar a expansão) são demonstravelmente as melhores aproximações possíveis entre as frações com denominadores desse tamanho.
Tabela comparando as frações contínuas de phi, sqrt2, e e pi, mostrando quais são periódicas e quais são irregulares
| CONSTANTE | NOTAÇÃO FC | TIPO |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periódico |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periódico |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periódico |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | padrão |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | sem padrão |
| Teorema: uma FC é periódica se, e só se, o número for um irracional quadrático (Lagrange, 1770) | ||
| phi é o “mais difícil” de aproximar: a sua FC de todos 1s tem a pior convergência possível |
Tabela dos convergentes de pi mostrando aproximações racionais cada vez mais precisas com denominadores pequenos
| CONVERGENTE | DECIMAL | ERRO |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 está correto até 6 casas decimais com um denominador de apenas 3 dígitos |
Os convergentes 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternam acima e abaixo de π. Cada um é a melhor aproximação racional com esse denominador ou menor.
Todo número real tem uma expansão única em fração contínua. Números racionais têm expansões finitas. Irracionais quadráticos (como sqrt(2) e phi) têm expansões eventualmente periódicas. Transcendentais como pi não exibem padrão. Os convergentes de uma fração contínua são as melhores aproximações racionais: 22/7 e 355/113 são convergentes de pi, coincidindo com ele até 2 e 6 casas decimais, respetivamente. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] é o número mais difícil de aproximar, tornando-o o mais irracional num sentido preciso.