A identidade de Euler decorre da fórmula de Euler: eix = cos(x) + i·sin(x). Fazendo x = π, obtemos eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, logo eiπ + 1 = 0.
eiθ percorre o círculo unitário. Uma rotação de π chega a −1. Some 1 e obtenha 0.
Ela conecta a aritmética (0 e 1), a álgebra (i), a geometria (π) e a análise (e) — quatro ramos diferentes da matemática — numa única equação de simplicidade impressionante. Richard Feynman chamou-a de “a fórmula mais notável da matemática.”
Leonhard Euler (1707–1783) publicou a fórmula eix = cos(x) + i·sin(x) em sua Introductio in analysin infinitorum (1748). A identidade é o caso especial quando x = π. Euler introduziu ou popularizou as notações e, i, f(x), Σ e π.
A série de Taylor de eˣ separa-se em cos(π) para os termos reais e i·sin(π) para os termos imaginários. Como cos(π) = −1 e sin(π) = 0, obtemos e^(iπ) = −1, logo e^(iπ) + 1 = 0.
A fórmula e^(i*theta) descreve um círculo unitário no plano complexo à medida que theta aumenta. e^(i*pi) é uma rotação de exatamente pi radianos (180 graus) a partir de 1, chegando a -1. Somar 1 leva-nos de volta a 0. É por isso que e^(i*pi) + 1 = 0: é uma meia-volta do plano complexo expressa como equação.
e^(iθ) é um operador de rotação. Em θ=π, rodámos exatamente meia circunferência. O ponto 1 no eixo real desloca-se para -1. Somando 1 aos dois lados obtemos e^(iπ) + 1 = 0.
A identidade de Euler e^(i*pi) + 1 = 0 une as cinco constantes mais importantes da matemática: e (a base dos logaritmos naturais), i (a unidade imaginária), pi (a constante do círculo), 1 (a identidade multiplicativa) e 0 (a identidade aditiva). Segue-se diretamente da fórmula de Euler e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) tomando theta = pi. Como cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0, obtemos e^(i*pi) = -1. Foi publicada pela primeira vez por Euler por volta de 1748. Foi eleita a equação mais bela da matemática em várias sondagens.