Some os recíprocos de todos os primos até n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Isso cresce, mas extraordinariamente devagar: como ln(ln(n)). A constante de Meissel-Mertens M é a diferença precisa entre essa soma e seu termo dominante, assim como a constante de Euler-Mascheroni γ é a diferença entre a série harmónica e ln(n).
Euler provou em 1737 que a soma dos recíprocos de todos os primos diverge. Isso é muito mais difícil do que provar que existem infinitos primos e dá uma noção quantitativa de quão densos eles são. O teorema de Mertens diz então que Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), dando a M o papel de termo constante exato.
Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| alle ganzen Zahlen | nur Primzahlen |
M e γ estão ligados por M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Não se sabe se alguma dessas constantes é irracional. Ambas foram calculadas com bilhões de casas decimais e acredita-se que sejam transcendentais, mas não há prova para nenhuma das duas. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
A constante de Euler-Mascheroni gamma mede a diferença entre a série harmónica (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) e ln(n). A constante de Meissel-Mertens M desempenha o mesmo papel para a soma dos recíprocos dos primos (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) em relação a ln(ln(n)). Ambas são constantes de “correção do erro” para séries divergentes que crescem logaritmicamente.
A constante de Meissel-Mertens M ≈ 0.26149 desempenha para os recíprocos dos primos o mesmo papel que a constante de Euler-Mascheroni desempenha para a série harmónica. Mertens provou em 1874 que 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + erro pequeno. Não se sabe se M é irracional. Ela aparece no teorema de Mertens sobre produtos de primos e na densidade dos números suaves. M e gamma estão ligadas por uma soma específica sobre todos os primos.