O teorema de De Moivre diz que elevar um ponto do círculo unitário à n-ésima potência simplesmente multiplica o seu ângulo por n. Se começarmos no ângulo θ e aplicarmos a operação n vezes, terminamos no ângulo nθ. A magnitude permanece a mesma; apenas a rotação muda.
Partindo do ângulo θ=40° no círculo unitário. Elevar ao quadrado dobra o ângulo para 80° (verde). Elevar ao cubo triplica-o para 120° (vermelho). O ponto apenas roda: a distância à origem permanece 1.
O teorema segue imediatamente da fórmula de Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Elevando ambos os lados à potência n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre enunciou o resultado em 1707, 41 anos antes de Euler publicar a fórmula, o que fazia a demonstração parecer magia em vez de mecanismo.
As 6 raízes da unidade formam um hexágono regular no círculo unitário. As raízes n-ésimas de z^n = 1 formam sempre um n-gono regular, igualmente espaçado em ângulos 2πk/n = τk/n.
O teorema de De Moivre é a ferramenta-chave para calcular potências e raízes de números complexos, derivar fórmulas de ângulo múltiplo (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) e encontrar as n raízes n-ésimas igualmente espaçadas de qualquer número complexo. Ele liga a álgebra dos complexos à geometria da rotação.
Ao multiplicar dois números complexos, os seus ângulos (argumentos) somam-se e as magnitudes multiplicam-se. Se ambos estiverem no círculo unitário (magnitude 1), só os ângulos mudam. Multiplicar n vezes soma o ângulo n vezes: isso é o teorema de De Moivre.
O teorema de De Moivre mostra que cos(n*theta) pode sempre ser escrito como um polinómio em cos(theta). Estes são os polinómios de Chebyshev T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Por exemplo, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, logo T_2(x) = 2x^2 - 1. Eles aparecem na análise numérica, no desenho de filtros e na teoria da aproximação.