Um número é irracional se não puder ser expresso como uma fração p/q, onde p e q são inteiros. A sua expansão decimal nunca termina e nunca se repete. sqrt(2), pi, e e phi são todos irracionais. Não são exceções nem curiosidades: a esmagadora maioria dos números reais é irracional.
Azul: números racionais (frações exatas). Vermelho: números irracionais (decimais não repetitivos). Entre dois racionais quaisquer existe um irracional, e vice-versa.
Tabela comparando números racionais com decimais finitos ou periódicos versus números irracionais com decimais infinitos e não periódicos
| RATIONAL: endet oder wiederholt sich | IRRATIONAL: wiederholt sich nie |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| endet | kein Muster, niemals |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| periodischer Block: {3} | kein Muster, niemals |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| periodischer Block: {142857} | kein Muster, niemals |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| periodischer Block: {45} | kein Muster, niemals |
Os números racionais, embora infinitos, podem ser listados (são contáveis). Os irracionais não podem ser listados. Se escolhêssemos um número real ao acaso, a probabilidade de ser racional seria exatamente zero.
Um número é irracional se não puder ser escrito como uma fração p/q com inteiros p e q. A sua expansão decimal nunca termina nem se repete. Os pitagóricos provaram que sqrt(2) é irracional por volta de 500 a.C., uma descoberta chocante para a época. Pi foi provado irracional por Lambert em 1761, e e por Euler em 1737. A maioria dos números reais é irracional: os racionais são infinitos contáveis, mas os irracionais são incontáveis, pelo que escolher um número real ao acaso dá um irracional com probabilidade 1. Os irracionais algébricos satisfazem equações polinomiais; os transcendentes não.