Lánctörtek
A lánctört egy számot egész szám plusz egy másik lánctört reciprokaként fejez ki. Minden valós számnak van egyetlen lánctört-kifejtése. A racionális számok véget érnek; a másodfokú irracionálisok periodikusan ismétlődnek; a transzcendens számoknak, mint a pi, nincs mintázatuk. A szelvénytörtek (a csonkolással kapott racionális közelítések) bizonyíthatóan a legjobb közelítései bármely olyan racionális számnak, amelynek nevezője ekkora.
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.
Minden valós számnak van egyetlen lánctört-kifejtése. A racionális számoknak véges a kifejtésük. A másodfokú irracionálisoknak (mint a sqrt(2) és a phi) végül periodikus a kifejtésük. A transzcendens számoknak, mint a pi, nincs mintázatuk. Egy lánctört szelvénytörtjei a legjobb racionális közelítések: a 22/7 és a 355/113 a pi szelvénytörtjei, 2, illetve 6 tizedesjegy pontossággal. A phi = [1; 1, 1, 1, ...] a legnehezebben közelíthető szám, ami pontos értelemben a legirracionálisabbá teszi.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
