Zřetězené zlomky
Zřetězený zlomek vyjadřuje číslo jako celé číslo plus reciprokní hodnotu jiného zřetězeného zlomku. Každé reálné číslo má unikátní rozvoj do zřetězeného zlomku. Racionální čísla končí; kvadratické iracionální se opakují periodicky; transcendentní čísla jako pi nemají žádný vzor. Konvergenty (racionální aproximace vzniklé uříznutím) jsou důkazně nejlepšími aproximacemi jakéhokoli racionálního čísla s danou velikostí jmenovatele.
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.
Každé reálné číslo má unikátní rozvoj do zřetězeného zlomku. Racionální čísla mají konečné rozvoje. Kvadratické iracionální (jako sqrt(2) a phi) mají nakonec periodické rozvoje. Transcendentní čísla jako pi nemají žádný vzor. Konvergenty zřetězeného zlomku jsou nejlepšími racionálními aproximacemi: 22/7 a 355/113 jsou konvergenty pi, které odpovídají 2 a 6 desetinným místům. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] je nejtěžší číslo k aproximaci, což z něj dělá v přesném smyslu nejirecionálnější číslo.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
