Christoffer De Geer 2026. március 20.

Mi a Lévy-állandó?

β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18656…

e^β ≈ 3.27582. Paul Lévy bizonyította, 1935.

Minden valós számnak vannak legjobb racionális közelítései: olyan p/q törtek, amelyek közelebb vannak x-hez, mint bármely kisebb nevezőjű tört. A q₁, q₂, q₃, … nevezők nőnek, de milyen ütemben? Paul Lévy 1935-ben bebizonyította, hogy majdnem minden valós szám esetében qₙ^(1/n) az e^β ≈ 3.27582-höz konvergál, ahol β = π²/(12 ln 2).

π convergent denominators grow exponentially at rate e^β

For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.

Az aranymetszésnek φ = [1;1,1,1,…] Fibonacci-nevezői vannak, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, amelyek lépésenként φ ≈ 1.618 ütemben nőnek. Ez sokkal lassabb, mint e^β ≈ 3.276, ezért φ a "legirracionálisabb" szám: a közelítései javulnak a leglassabban. A legtöbb szám nevezői sokkal gyorsabban, e^β ütemben nőnek.

Growth rates of convergent denominators compared

Comparison of denominator growth rates for golden ratio versus typical number
φ = [1;1,1,1,…]	Typical number
qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ	qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ
Slowest possible growth	Lévy's theorem

A β = π²/(12 ln 2) érték a Gauss-Kuzmin-eloszlás integrálásából adódik. Az ln 2 a 2-es (bináris) számrendszerben való munkából ered, a π² pedig ugyanazokból a forrásokból, mint ζ(2) = π²/6. A Lévy-állandó: 1.1865691104156254… e^β = 3.275822918721811159787681882…

Hincsin-állandó → Lánctörtek → Aranymetszés φ → A 2 négyzetgyöke →

Continued fraction convergents of π: denominator growth

The partial quotient 292 at step 5 makes π's denominators grow much faster than average. For a "typical" number the ratio ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
n	Partial quotient aₙ	Convergent pₙ/qₙ	Denominator qₙ	ln(qₙ)/n
1	3	3/1	1	0.00
2	7	22/7	7	0.97
3	15	333/106	106	1.55
4	1	355/113	113	1.19
5	292	103993/33102	33102	2.52
6	1	104348/33215	33215	1.74
7	1	208341/66317	66317	1.54

Kapcsolódó témák

Hincsin Lánctörtek Phi

Fontos tények a Lévy-állandóról

A Lévy-állandó beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657. Majdnem minden valós szám esetében az n-edik közelítő tört nevezője qn kielégíti, hogy qn^(1/n) az e^beta ≈ 3.27582-höz tart. Paul Lévy bizonyította 1935-ben. Az aranymetszés, amelynek Fibonacci-nevezői phi ≈ 1.618 ütemben nőnek, jóval az átlag alatt van, megerősítve, hogy a legnehezebben közelíthető szám. A képlet a pi-t és az ln 2-t kombinálja, összekapcsolva a kör geometriáját a logaritmusokkal a Gauss-Kuzmin-eloszláson keresztül.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Mi e^β numerikus értéke?

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.