Christoffer De Geer 21 березня 2026 р.

Ланцюгові дроби

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

записується [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

Ланцюговий дріб виражає число як ціле плюс обернене значення іншого ланцюгового дробу. Кожне дійсне число має єдиний розклад у ланцюговий дріб. Раціональні числа обриваються; квадратичні ірраціональні числа повторюються періодично; трансцендентні, як-от pi, не мають закономірності. Підхідні дроби (раціональні наближення, утворені обриванням) є доведено найкращими наближеннями серед будь-яких раціональних із таким розміром знаменника.

Порівняння відомих ланцюгових дробів: періодичність = квадратична ірраціональність

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
CONSTANT	CF NOTATION	TYPE
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodic
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodic
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodic
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	pattern
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	no pattern
Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770)
phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
CONVERGENT	DECIMAL	ERROR
3/1	3.000000	0.14159
22/7	3.142857	0.00126
333/106	3.141509	0.000083
355/113	3.141592…	0.0000003
103993/33102	3.14159265…	2.7e−10
355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

Золотий перетин φ → Квадратний корінь із 2 → Стала Хінчина → Стала Леві → Число Ейлера e →

Пов'язані теми

Фі Корінь із 2 Хінчин

Ключові факти про ланцюгові дроби

Кожне дійсне число має єдиний розклад у ланцюговий дріб. Раціональні числа мають скінченні розклади. Квадратичні ірраціональні числа (як-от sqrt(2) та phi) мають зрештою періодичні розклади. Трансцендентні, як-от pi, не мають закономірності. Підхідні дроби ланцюгового дробу є найкращими раціональними наближеннями: 22/7 та 355/113 - підхідні дроби pi, що збігаються з ним на 2 та 6 десяткових знаків відповідно. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] - найважче число для наближення, що робить його найбільш ірраціональним у точному сенсі.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Що таке збіжності (конвергенти)?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.