Christoffer De Geer 21 במרץ 2026

שברים משולבים

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

נכתב [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

שבר משולב מבטא מספר כמספר שלם ועוד ההופכי של שבר משולב נוסף. לכל מספר ממשי יש פיתוח שבר משולב יחיד. מספרים רציונליים מסתיימים; אי-רציונליים ריבועיים חוזרים מחזורית; טרנסצנדנטיים כמו pi אין להם דפוס. המתכנסים (קירובים רציונליים הנוצרים על ידי קטיעה) הם, בהוכחה, הקירובים הטובים ביותר מבין כל רציונלי בעל מכנה בגודל זה.

שברים משולבים מפורסמים בהשוואה: מחזורי = אי-רציונלי ריבועי

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
CONSTANT	CF NOTATION	TYPE
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodic
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodic
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodic
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	pattern
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	no pattern
Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770)
phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
CONVERGENT	DECIMAL	ERROR
3/1	3.000000	0.14159
22/7	3.142857	0.00126
333/106	3.141509	0.000083
355/113	3.141592…	0.0000003
103993/33102	3.14159265…	2.7e−10
355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

יחס הזהב φ → שורש ריבועי של 2 → קבוע חינצ'ין → קבוע לוי → מספר אוילר e →

נושאים קשורים

פאי שורש 2 חינצ'ין

עובדות מפתח על שברים משולבים

לכל מספר ממשי יש פיתוח שבר משולב יחיד. למספרים רציונליים יש פיתוחים סופיים. לאי-רציונליים ריבועיים (כמו sqrt(2) ו-phi) יש פיתוחים מחזוריים בסופו של דבר. לטרנסצנדנטיים כמו pi אין דפוס. המתכנסים של שבר משולב הם הקירובים הרציונליים הטובים ביותר: 22/7 ו-355/113 הם מתכנסים של pi, התואמים אותו ל-2 ול-6 מקומות עשרוניים בהתאמה. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] הוא המספר הקשה ביותר לקירוב, מה שהופך אותו לאי-רציונלי ביותר במובן מדויק.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

מתי שבר משך מסתיים או חוזר על עצמו?

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.