الكسور المستمرة
يعبّر الكسر المستمر عن عدد كعدد صحيح مضافًا إليه مقلوب كسر مستمر آخر. لكل عدد حقيقي توسع كسر مستمر وحيد. الأعداد النسبية تنتهي؛ والأعداد غير النسبية التربيعية تتكرر دوريًا؛ أما الأعداد المتسامية مثل π فلا نمط لها. المتقاربات (التقريبات النسبية الناتجة عن القطع) هي أفضل تقريبات مُبرهَنة لأي عدد نسبي بذلك الحجم من المقام.
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
تتناوب المتقاربات 3، 22/7، 333/106، 355/113، 103993/33102 فوق وتحت π. كل منها هو أفضل تقريب نسبي بذلك المقام أو أصغر.
لكل عدد حقيقي توسع كسر مستمر وحيد. الأعداد النسبية لها توسعات منتهية. الأعداد غير النسبية التربيعية (مثل √2 وφ) لها توسعات دورية في نهاية المطاف. الأعداد المتسامية مثل π ليس لها نمط. متقاربات الكسر المستمر هي أفضل التقريبات النسبية: 22/7 و355/113 هما متقاربتان لـ π، تطابقانه إلى منزلتين و6 منازل عشرية على التوالي. φ = [1; 1, 1, 1, ...] هو أصعب عدد في التقريب، مما يجعله الأكثر لاعقلانية بمعنى دقيق.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.
