Christoffer De Geer 21 martie 2026

Fracții continue

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

scris [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

O fracție continuă exprimă un număr ca un întreg plus inversul unei alte fracții continue. Fiecare număr real are o expansiune unică în fracție continuă. Numerele raționale se termină; iraționalele pătratice se repetă periodic; transcendentele precum pi nu au niciun tipar. Convergentele (aproximările raționale formate prin trunchiere) sunt demonstrabil cele mai bune aproximări dintre toate raționalele cu numitor de acea mărime.

Fracții continue celebre comparate: periodică = iraționalitate pătratică

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
CONSTANT	CF NOTATION	TYPE
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodic
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodic
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodic
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	pattern
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	no pattern
Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770)
phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
CONVERGENT	DECIMAL	ERROR
3/1	3.000000	0.14159
22/7	3.142857	0.00126
333/106	3.141509	0.000083
355/113	3.141592…	0.0000003
103993/33102	3.14159265…	2.7e−10
355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

Numărul de aur φ → Rădăcina pătrată a lui 2 → Constanta lui Khinchin → Constanta lui Lévy → Numărul lui Euler e →

Subiecte conexe

Phi Sqrt2 Khinchin

Fapte cheie despre fracțiile continue

Fiecare număr real are o expansiune unică în fracție continuă. Numerele raționale au expansiuni finite. Iraționalele pătratice (precum sqrt(2) și phi) au expansiuni periodice de la un punct. Transcendentele precum pi nu au niciun tipar. Convergentele unei fracții continue sunt cele mai bune aproximări raționale: 22/7 și 355/113 sunt convergente ale lui pi, potrivindu-se cu el la 2 și respectiv 6 zecimale. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] este cel mai greu număr de aproximat, ceea ce îl face cel mai irațional într-un sens precis.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Care este fracţia continuă a lui phi?

tap · space

1 / 10

Gata de joc?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Joacă acum - e gratis

Fără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.