Christoffer De Geer 21 Μαρτίου 2026

Συνεχή κλάσματα

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

γραμμένο [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

Ένα συνεχές κλάσμα εκφράζει έναν αριθμό ως έναν ακέραιο συν το αντίστροφο ενός άλλου συνεχούς κλάσματος. Κάθε πραγματικός αριθμός έχει ένα μοναδικό ανάπτυγμα σε συνεχές κλάσμα. Οι ρητοί αριθμοί τερματίζουν· οι τετραγωνικοί άρρητοι επαναλαμβάνονται περιοδικά· οι υπερβατικοί όπως το pi δεν έχουν μοτίβο. Οι συγκλίνοντες (ρητές προσεγγίσεις που σχηματίζονται με αποκοπή) είναι αποδεδειγμένα οι καλύτερες προσεγγίσεις από οποιονδήποτε ρητό με παρονομαστή αυτού του μεγέθους.

Διάσημα συνεχή κλάσματα σε σύγκριση: περιοδικό = τετραγωνικός άρρητος

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
CONSTANT	CF NOTATION	TYPE
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodic
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodic
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodic
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	pattern
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	no pattern
Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770)
phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
CONVERGENT	DECIMAL	ERROR
3/1	3.000000	0.14159
22/7	3.142857	0.00126
333/106	3.141509	0.000083
355/113	3.141592…	0.0000003
103993/33102	3.14159265…	2.7e−10
355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

Χρυσή τομή φ → Τετραγωνική ρίζα του 2 → Σταθερά του Khinchin → Σταθερά του Lévy → Αριθμός του Euler e →

Σχετικά θέματα

Φι √2 Khinchin

Βασικά στοιχεία για τα συνεχή κλάσματα

Κάθε πραγματικός αριθμός έχει ένα μοναδικό ανάπτυγμα σε συνεχές κλάσμα. Οι ρητοί αριθμοί έχουν πεπερασμένα αναπτύγματα. Οι τετραγωνικοί άρρητοι (όπως το sqrt(2) και το phi) έχουν τελικά περιοδικά αναπτύγματα. Οι υπερβατικοί όπως το pi δεν έχουν μοτίβο. Οι συγκλίνοντες ενός συνεχούς κλάσματος είναι οι καλύτερες ρητές προσεγγίσεις: τα 22/7 και 355/113 είναι συγκλίνοντες του pi, που το προσεγγίζουν σε 2 και 6 δεκαδικά ψηφία αντίστοιχα. Το phi = [1; 1, 1, 1, ...] είναι ο πιο δύσκολος αριθμός για προσέγγιση, καθιστώντας τον τον πιο άρρητο με μια ακριβή έννοια.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Πώς συνδέεται ο αλγόριθμος του Ευκλείδη με τα συνεχή κλάσματα;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.