Christoffer De Geer 21 mars 2026

Fractions continues

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

noté [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

Une fraction continue exprime un nombre comme un entier plus l'inverse d'une autre fraction continue. Tout nombre réel a un développement en fraction continue unique. Les nombres rationnels terminent ; les irrationnels quadratiques se répètent périodiquement ; les transcendants comme pi n'ont aucun motif. Les convergentes (approximations rationnelles obtenues par troncature) sont de manière prouvée les meilleures approximations rationnelles avec un dénominateur de cette taille.

Fractions continues célèbres comparées : périodique = irrationnel quadratique

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
CONSTANT	CF NOTATION	TYPE
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodic
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodic
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodic
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	pattern
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	no pattern
Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770)
phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
CONVERGENT	DECIMAL	ERROR
3/1	3.000000	0.14159
22/7	3.142857	0.00126
333/106	3.141509	0.000083
355/113	3.141592…	0.0000003
103993/33102	3.14159265…	2.7e−10
355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

Le nombre d'or (φ) → √2 (racine carrée de 2) → La constante de Khintchine → La constante de Lévy → Le nombre d'Euler e →

Sujets connexes

Phi Sqrt2 Khintchine

Faits essentiels sur les fractions continues

Tout nombre réel a un développement en fraction continue unique. Les nombres rationnels ont des développements finis. Les irrationnels quadratiques (comme sqrt(2) et phi) ont des développements finalement périodiques. Les transcendants comme pi n'ont aucun motif. Les convergentes d'une fraction continue sont les meilleures approximations rationnelles : 22/7 et 355/113 sont des convergentes de pi, l'approchant à 2 et 6 décimales respectivement. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] est le nombre le plus difficile à approcher, ce qui en fait le plus irrationnel au sens précis.

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