सतत भिन्न
एक सतत भिन्न किसी संख्या को एक पूर्णांक और दूसरी सतत भिन्न के व्युत्क्रम के योग के रूप में व्यक्त करती है। हर वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय सतत भिन्न विस्तार होता है। परिमेय संख्याएँ समाप्त हो जाती हैं; द्विघात अपरिमेय आवर्ती होती हैं; π जैसी ट्रान्ससेंडेंटल संख्याओं में कोई स्पष्ट पैटर्न नहीं होता। अभिसारी (यानि बीच में काटकर बनाए गए परिमेय सन्निकटन) सिद्ध रूप से उस आकार के हर के लिए सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन होते हैं।
| KONSTANTE | KB-NOTATION | TYP |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | आवर्ती |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | आवर्ती |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | आवर्ती |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | पैटर्न |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | कोई पैटर्न नहीं |
| प्रमेय: कोई सतत भिन्न तभी और केवल तभी आवर्ती होता है जब संख्या द्विघात अपरिमेय हो (Lagrange, 1770) | ||
| phi का सन्निकटन सबसे कठिन है: केवल 1 से बना उसका सतत भिन्न सबसे धीमा संभव अभिसरण देता है |
| KONVERGENT | DEZIMAL | FEHLER |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 केवल तीन अंकों वाले हर के साथ 6 दशमलव स्थान तक सही है |
अभिसारी 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 बारी-बारी से π से ऊपर और नीचे आते हैं। प्रत्येक अपने उस हर या उससे छोटे हरों के लिए सर्वश्रेष्ठ परिमेय सन्निकटन है।
हर वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय सतत भिन्न विस्तार होता है। परिमेय संख्याओं का विस्तार सीमित होता है। द्विघात अपरिमेय (जैसे sqrt(2) और phi) अंततः आवर्ती विस्तार रखती हैं। π जैसी ट्रान्ससेंडेंटल संख्याओं में कोई पैटर्न नहीं होता। सतत भिन्न के अभिसारी सर्वश्रेष्ठ परिमेय सन्निकटन देते हैं: 22/7 और 355/113, π के अभिसारी हैं, जो क्रमशः 2 और 6 दशमलव स्थान तक मेल खाते हैं। Phi = [1; 1, 1, 1, ...] का सन्निकटन करना सबसे कठिन है, इसलिए सटीक अर्थ में यह सबसे अधिक अपरिमेय संख्या है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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