Christoffer De Geer 21 มีนาคม 2569

เศษส่วนต่อเนื่อง

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

เขียนเป็น [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

เศษส่วนต่อเนื่องแสดงจำนวนเป็นจำนวนเต็มบวกกับส่วนกลับของเศษส่วนต่อเนื่องอีกตัวหนึ่ง จำนวนจริงทุกตัวมีการกระจายเศษส่วนต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกัน จำนวนตรรกยะสิ้นสุด จำนวนอตรรกยะกำลังสองซ้ำเป็นคาบ ส่วนจำนวนอดิศัยอย่าง pi ไม่มีรูปแบบ ตัวลู่เข้า (การประมาณตรรกยะที่เกิดจากการตัดทอน) พิสูจน์ได้ว่าเป็นการประมาณที่ดีที่สุดเหนือจำนวนตรรกยะใด ๆ ที่มีตัวส่วนขนาดนั้น

เปรียบเทียบเศษส่วนต่อเนื่องที่โด่งดัง: เป็นคาบ = จำนวนอตรรกยะกำลังสอง

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
CONSTANT	CF NOTATION	TYPE
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodic
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodic
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodic
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	pattern
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	no pattern
Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770)
phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
CONVERGENT	DECIMAL	ERROR
3/1	3.000000	0.14159
22/7	3.142857	0.00126
333/106	3.141509	0.000083
355/113	3.141592…	0.0000003
103993/33102	3.14159265…	2.7e−10
355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

อัตราส่วนทอง φ → รากที่สองของ 2 → ค่าคงตัวคินชิน → ค่าคงตัวเลวี → จำนวนออยเลอร์ e →

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

พาย รากที่สองของ 2 คินชิน

ข้อเท็จจริงสำคัญเกี่ยวกับเศษส่วนต่อเนื่อง

จำนวนจริงทุกตัวมีการกระจายเศษส่วนต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกัน จำนวนตรรกยะมีการกระจายแบบจำกัด จำนวนอตรรกยะกำลังสอง (อย่าง sqrt(2) และ phi) มีการกระจายที่เป็นคาบในที่สุด จำนวนอดิศัยอย่าง pi ไม่มีรูปแบบ ตัวลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่องคือการประมาณตรรกยะที่ดีที่สุด: 22/7 และ 355/113 เป็นตัวลู่เข้าของ pi ตรงกับมันที่ 2 และ 6 ตำแหน่งทศนิยมตามลำดับ Phi = [1; 1, 1, 1, ...] เป็นจำนวนที่ประมาณได้ยากที่สุด ทำให้มันเป็นจำนวนที่อตรรกยะที่สุดในความหมายที่แม่นยำ

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

ต้นไม้ Stern-Brocot คืออะไร?

tap · space

1 / 10

พร้อมเล่นหรือยัง?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

เล่นตอนนี้ - ฟรี

ไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.