Frazioni continue
Una frazione continua esprime un numero come un intero più il reciproco di un'altra frazione continua. Ogni numero reale ha un'espansione in frazione continua unica. I numeri razionali terminano; gli irrazionali quadratici si ripetono periodicamente; i trascendenti come pi non hanno pattern. I convergenti (approssimazioni razionali ottenute per troncamento) sono dimostrabilmente le migliori approssimazioni di qualsiasi razionale con quel denominatore.
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.
Ogni numero reale ha un'espansione in frazione continua unica. I numeri razionali hanno espansioni finite. Gli irrazionali quadratici (come sqrt(2) e phi) hanno espansioni eventualmente periodiche. I trascendenti come pi non hanno pattern. I convergenti di una frazione continua sono le migliori approssimazioni razionali: 22/7 e 355/113 sono convergenti di pi, approssimandolo rispettivamente a 2 e 6 cifre decimali. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] è il numero più difficile da approssimare, il che lo rende il più irrazionale in un senso preciso.
Pi
Memorizza pi greco, e e 38 costanti matematiche con il metodo del tastierino numerico
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