Christoffer De Geer 21 marca 2026

Ułamki łańcuchowe

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

zapis [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

Ułamek łańcuchowy przedstawia liczbę jako liczbę całkowitą plus odwrotność kolejnego ułamka łańcuchowego. Każda liczba rzeczywista ma jednoznaczne rozwinięcie w ułamek łańcuchowy. Liczby wymierne kończą się, niewymierności kwadratowe są okresowe, a liczby transcendentalne, takie jak pi, nie wykazują prostego wzoru. Zbieżniki, czyli przybliżenia wymierne otrzymywane przez obcinanie rozwinięcia, są dowodnie najlepszymi przybliżeniami dla danego rozmiaru mianownika.

Porównanie słynnych ułamków łańcuchowych: okresowy = niewymierność kwadratowa

Tabela porównująca ułamki łańcuchowe phi, sqrt2, e i pi oraz pokazująca, które są okresowe, a które nieregularne.
STAŁA	ZAPIS UŁAŃCUCHOWY	TYP
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	okresowy
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	okresowy
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	okresowy
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	wzór
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	brak prostego wzoru
Twierdzenie: ułamek łańcuchowy jest okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest niewymiernością kwadratową (Lagrange, 1770)
phi jest najtrudniejsze do przybliżenia: jego ułamek łańcuchowy z samych jedynek daje najwolniejszą możliwą zbieżność

Zbieżniki pi: najlepsze przybliżenia wymierne

Tabela zbieżników pi pokazująca coraz dokładniejsze przybliżenia wymierne przy niewielkich mianownikach.
ZBIEŻNIK	DZIESIĘTNIE	BŁĄD
3/1	3,000000	0,14159
22/7	3,142857	0,00126
333/106	3,141509	0,000083
355/113	3,141592…	0,0000003
103993/33102	3,14159265…	2,7e−10
355/113 daje poprawność do 6 miejsc po przecinku przy mianowniku zaledwie trzycyfrowym

Kolejne zbieżniki π naprzemiennie leżą powyżej i poniżej

Zbieżniki 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 leżą na przemian powyżej i poniżej π. Każdy jest najlepszym przybliżeniem wymiernym z takim mianownikiem lub mniejszym.

Złoty podział phi → Pierwiastek z 2 → Stała Chinczyna → Stała Lévy'ego →

Tematy powiązane

Phi Sqrt2 Chinczyn

Najważniejsze fakty o ułamkach łańcuchowych

Każda liczba rzeczywista ma jednoznaczne rozwinięcie w ułamek łańcuchowy. Liczby wymierne mają rozwinięcia skończone. Niewymierności kwadratowe (takie jak sqrt(2) i phi) mają rozwinięcia okresowe od pewnego miejsca. Liczby transcendentalne, takie jak pi, nie wykazują prostego wzoru. Zbieżniki ułamka łańcuchowego są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi: 22/7 i 355/113 są zbieżnikami pi, trafiając odpowiednio do 2 i 6 miejsc po przecinku. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] jest najtrudniejszą liczbą do przybliżania, a więc w ścisłym sensie najbardziej niewymierną.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Jak algorytm Euklidesa wiąże się z ułamkami łańcuchowymi?

tap · space

1 / 10

Gotowi do gry?

Pi

Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej

Zagraj teraz - za darmo

Bez konta. Działa na każdym urządzeniu.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.