Mi a Hincsin-állandó?
Minden valós számnak van lánctörtje: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Az a₁, a₂, a₃, … egész számok a részhányadosok. A π esetében ezek 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… A √2 esetében 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periodikus, csupa 2-es). Hincsin 1934-ben bebizonyította, hogy majdnem minden valós szám esetében a részhányadosok mértani közepe ugyanahhoz a K₀ ≈ 2.68545 állandóhoz konvergál.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
A K₀ képlete K₀ = ∏(k=1 to ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), amely rendkívül lassan konvergál. Hincsin tétele példa egy olyan eredményre, amely majdnem minden számra igaz, mégsem ellenőrizhető egyetlen konkrét állandóra sem. Nem tudunk felmutatni egyetlen megerősített példányt sem egy olyan számra, amely engedelmeskedik neki.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
Az a tény, hogy az 1 dominál (41.5%), magyarázza, miért kisebb K₀ ≈ 2.685 mint 3: a kis értékek lefelé húzzák a mértani közepet. Ha minden 1-től 9-ig terjedő számjegy egyformán valószínű lenne, a mértani közép (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15 lenne. Az 1 felé történő erős súlyozás teszi K₀-t lényegesen kisebbé.
A Hincsin-állandó K0 ≈ 2.68545 egy univerzális határérték: majdnem minden x = [a0; a1, a2, ...] valós szám esetében a részhányadosok mértani közepe (a1*a2*...*an)^(1/n) K0-hoz konvergál. Hincsin bizonyította 1934-ben. A meglepő szempont az univerzalitás: majdnem minden szám osztozik ezen a mértani közepen, mégsem ellenőrizhető az eredmény egyetlen ismert állandóra, például a pi-re vagy az e-re sem. Az, hogy K0 algebrai vagy transzcendens-e, nem ismert.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
