Christoffer De Geer 2026. március 20.

Mi az Erdos-Borwein-konstans?

E = Σ 1/(2ⁿ-1) ≈ 1.60669…

1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Transzcendencia: ismeretlen.

Az Erdos-Borwein-konstans E az 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ összeg. A nevezők a 2ⁿ − 1 Mersenne-számok. Erdős Pál 1948-ban bizonyította, hogy E irracionális, csupán a bináris ábrázolások elemi tulajdonságait felhasználva.

Partial sums converging to the Erdős–Borwein constant E

The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.

A sor geometriai sebességgel konvergál: minden tag nagyjából az előző fele (mivel 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ nagy n esetén). Már 20 tag után az összeg 6 tizedesjegy pontosságú. Az E = Σ d(n)/2ⁿ egyenlőség (ahol d(n) az n páratlan osztóinak száma) az oszthatóságelmélethez kapcsolja.

Erdős–Borwein converges faster than Basel

E = Σ 1/(2ⁿ−1) ≈ 1.6066951524…

Basel: Σ 1/n² ≈ 1.6449 – terms decrease as 1/n²

Erdős–Borwein: terms decrease as 1/2ⁿ – geometric decay, much faster convergence

Hogy E transzcendens-e, az nyitott kérdés. Erdős irracionalitási bizonyítását az teszi emlékezetessé, hogy mennyire takarékos: azt használta fel, hogy az 1, 3, 7, 15, 31… nevezők bináris ábrázolásainak (amelyek binárisan 1, 11, 111, 1111, 11111) különleges szerkezetük van, ami megakadályozza, hogy az összeg racionális legyen. Az érték: 1.60669515245214159769492939967985…

Catalan-konstans → Apéry-konstans → Meissel-Mertens-konstans → Champernowne-konstans →

Series terms: denominators double each step, sum converges to E ~1.607

Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.

Kapcsolódó témák

Prímek Ln2 Champernowne

Fontos tények az Erdos-Borwein-konstansról

Az Erdos-Borwein-konstans E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Erdős Pál bizonyította irracionalitását 1948-ban a 2^n - 1 nevezők bináris tulajdonságait felhasználva. Egyenlő a d(n)/2^n összegével, ahol d(n) az n páratlan osztóinak száma. A sor gyorsan konvergál: minden tag nagyjából az előző fele. Hogy transzcendens-e, az ismeretlen. Érték: 1.60669515245214159769492939967985...

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Adj egy ekvivalens formát az E-hez, amely tartalmazza az osztófüggvényt.

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.