एर्डोश–बोरवाइन नियतांक क्या है?
एर्डोश–बोरवाइन नियतांक E, 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ का योग है। हर 2ⁿ − 1, मर्सेन संख्या है। पॉल एर्डोश ने 1948 में केवल द्विआधारी निरूपण के प्राथमिक गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया कि E अपरिमेय है।
आंशिक योग तेज़ी से E ≈ 1.6066951524 की ओर अभिसरित होते हैं। हर 2^n−1 ज्यामितीय रूप से बढ़ता है, इसलिए अभिसरण बासेल समस्या की तुलना में कहीं तेज़ है।
यह श्रेणी ज्यामितीय रूप से बहुत तेज़ अभिसरित होती है: हर अगला पद लगभग पिछले का आधा होता है (क्योंकि बड़े n के लिए 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ)। केवल 20 पदों के बाद योग 6 दशमलव स्थान तक सही हो जाता है। समतुल्य रूप E = Σ d(n)/2ⁿ, जहाँ d(n), n के विषम भाजकों की संख्या है, इसे विभाज्यता सिद्धांत से जोड़ता है।
E ट्रान्ससेंडेंटल है या नहीं, यह खुला प्रश्न है। एर्डोश के अपरिमेयता-प्रमाण को यादगार बनाने वाली बात उसकी सादगी है: उन्होंने यह तथ्य इस्तेमाल किया कि हर 1, 3, 7, 15, 31… (जो द्विआधारी में 1, 11, 111, 1111, 11111 होते हैं) की एक विशेष संरचना होती है, जो योग को परिमेय होने से रोकती है। इसका मान है: 1.60669515245214159769492939967985…
हर 2^n - 1 लगभग पिछले हर का दोगुना है। योग E ~1.6066951524 पर अभिसरित होता है।
एर्डोश–बोरवाइन नियतांक E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669 है। पॉल एर्डोश ने 1948 में 2^n - 1 वाले हरों की द्विआधारी संरचना का उपयोग करके इसे अपरिमेय सिद्ध किया। यह Σ d(n)/2^n के बराबर है, जहाँ d(n), n के विषम भाजकों की संख्या है। यह श्रेणी तेज़ी से अभिसरित होती है: हर पद लगभग पिछले का आधा है। यह ट्रान्ससेंडेंटल है या नहीं, अज्ञात है। मान: 1.60669515245214159769492939967985...
Pi
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