ค่าคงตัวแอร์ดอส-บอร์ไวน์คืออะไร?
ค่าคงตัวแอร์ดอส-บอร์ไวน์ E คือผลรวม 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ ตัวส่วนคือจำนวนแมร์แซน 2ⁿ − 1 Paul Erdos พิสูจน์ในปี 1948 ว่า E เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยใช้เพียงคุณสมบัติพื้นฐานของการแทนค่าฐานสอง
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างรวดเร็วแบบเรขาคณิต: แต่ละพจน์มีค่าราวครึ่งหนึ่งของพจน์ก่อนหน้า (เพราะ 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ สำหรับ n ที่ใหญ่) หลังจากเพียง 20 พจน์ ผลรวมแม่นยำถึง 6 ตำแหน่งทศนิยม ความสมมูล E = Σ d(n)/2ⁿ (โดยที่ d(n) นับตัวหารคี่ของ n) เชื่อมโยงมันเข้ากับทฤษฎีการหารลงตัว
คำถามว่า E เป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ยังเป็นปัญหาเปิด สิ่งที่ทำให้บทพิสูจน์ความอตรรกยะของแอร์ดอสน่าจดจำคือความประหยัด: เขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการแทนค่าฐานสองของตัวส่วน 1, 3, 7, 15, 31… (ซึ่งเป็น 1, 11, 111, 1111, 11111 ในฐานสอง) มีโครงสร้างพิเศษที่ป้องกันไม่ให้ผลรวมเป็นจำนวนตรรกยะ ค่า: 1.60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
ค่าคงตัวแอร์ดอส-บอร์ไวน์ E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669 Paul Erdos พิสูจน์ความอตรรกยะของมันในปี 1948 โดยใช้คุณสมบัติฐานสองของตัวส่วน 2^n - 1 มันเท่ากับผลรวมของ d(n)/2^n โดยที่ d(n) นับตัวหารคี่ของ n อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างรวดเร็ว: แต่ละพจน์มีค่าราวครึ่งหนึ่งของพจน์ก่อนหน้า คำถามว่ามันเป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ยังไม่มีคำตอบ ค่า: 1.60669515245214159769492939967985...
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
