Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке стала Ердеша-Борвейна?

E = Σ 1/(2ⁿ-1) ≈ 1.60669…

1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Трансцендентність: невідома.

Стала Ердеша-Борвейна E - це сума 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Знаменники - це числа Мерсенна 2ⁿ − 1. Пауль Ердеш довів 1948 року, що E ірраціональна, використавши лише елементарні властивості двійкових подань.

Partial sums converging to the Erdős–Borwein constant E

The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.

Ряд збігається геометрично швидко: кожен член приблизно вдвічі менший за попередній (оскільки 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ для великих n). Уже після 20 членів сума точна до 6 десяткових знаків. Еквівалентність E = Σ d(n)/2ⁿ (де d(n) рахує непарні дільники n) пов'язує її з теорією подільності.

Erdős–Borwein converges faster than Basel

E = Σ 1/(2ⁿ−1) ≈ 1.6066951524…

Basel: Σ 1/n² ≈ 1.6449 – terms decrease as 1/n²

Erdős–Borwein: terms decrease as 1/2ⁿ – geometric decay, much faster convergence

Чи трансцендентна E, залишається відкритим. Доведення ірраціональності Ердеша запам'ятовується своєю економністю: він використав те, що двійкові подання знаменників 1, 3, 7, 15, 31… (які у двійковій системі є 1, 11, 111, 1111, 11111) мають особливу структуру, що не дає сумі бути раціональною. Значення: 1.60669515245214159769492939967985…

Стала Каталана → Стала Апері → Стала Мейселя-Мертенса → Стала Шампернауна →

Series terms: denominators double each step, sum converges to E ~1.607

Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.

Пов'язані теми

Прості числа Ln2 Шампернаун

Ключові факти про сталу Ердеша-Борвейна

Стала Ердеша-Борвейна E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Пауль Ердеш довів її ірраціональність 1948 року, використавши двійкові властивості знаменників 2^n - 1. Вона дорівнює сумі d(n)/2^n, де d(n) рахує непарні дільники n. Ряд збігається швидко: кожен член приблизно вдвічі менший за попередній. Чи трансцендентна вона, невідомо. Значення: 1.60669515245214159769492939967985...

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Які знаменники у ряді Эрдоса-Борвейна?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.