Mi az Apéry-állandó?
A ζ(3) a Riemann-féle zéta-függvény értéke 3-ban: az 1/n³ összege az összes pozitív egész számra. Páros bemenetekre Euler gyönyörű zárt alakokat talált: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Páratlan bemenetekre nincs ilyen képlet. Hogy a ζ(3) egyáltalán tartalmazza-e π-t, az ismeretlen.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
1978-ban Roger Apéry bejelentette a bizonyítását, hogy a ζ(3) irracionális. A közönség szkeptikus volt. Henri Cohen és más matematikusok hazasiettek, hogy éjszaka számítógépen ellenőrizzék. Másnap reggelre megerősítették, hogy helyes. "Olyan volt, mint a villámcsapás derült égből," mondta az egyik jelenlévő. Apéry 64 éves volt.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Hogy a ζ(3) kifejezhető-e π-vel, az a kiemelkedő nyitott kérdés. Minden páros zéta-érték a π megfelelő hatványának racionális többszöröse. A páratlan zéta-értékek mintha egy másik világban élnének. Végtelen sok páratlan értékről, ζ(2n+1), tudjuk, hogy irracionális (Rivoal, 2000), de a pontos mintázat rejtélyes marad. Teljes érték: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = racionális szám × π^(2k) minden páros k-ra. Euler ezt minden páros értékre bizonyította. De a ζ(3), ζ(5), ζ(7)... teljesen mások. A ζ(3) irracionális (Apéry), de nem ismert kapcsolat π-vel. Lehet, hogy valóban független π-től.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Ismeretlen. Roger Apery 1978-ban bizonyította, hogy a zeta(3) irracionális, de hogy transzcendens-e, az nyitott probléma marad. Széles körben azt hiszik, hogy transzcendens, de nincs rá bizonyíték.
A kvantum-elektrodinamikában (az elektron mágneses momentumának korrekcióiban), a véletlen mátrixok elméletében és egy kétdimenziós Ising-modell entrópiájában. Megjelenik a statisztikus mechanika Fermi-Dirac- és Bose-Einstein-eloszlásaiban.
Ramanujan gyorsan konvergáló sorokat talált a zeta(3)-ra, beleértve egy 7pi^3/180-t és exponenciálisok feletti összegeket tartalmazó képletet. Jegyzetfüzetei több tucat, a zeta(3)-hoz kapcsolódó azonosságot tartalmaztak, amelyek többségét csak évtizedekkel a halála után bizonyították.
A(n) = a C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 összege k-ra futtatva, egész számok, amelyek Apery irracionalitási bizonyításában jelennek meg. Az első néhány: 1, 5, 73, 1445, 33001. Rekurzív összefüggést elégítenek ki, és úgy nőnek, hogy az 1/n^3 részösszegeinek nevezőit bizonyos tényezők kiesésére kényszerítik, irracionálissá téve a határértéket.
Az Apery-állandó zeta(3) az 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959 összeg. Az s páros értékeire Euler zárt alakokat talált pi-vel: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. A páratlan értékekre nem ismert ilyen képlet. Roger Apery 1978-ban, 64 éves korában bizonyította, hogy a zeta(3) irracionális. Hogy transzcendens-e, vagy kifejezhető-e pi-vel, az ismeretlen marad.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
