Christoffer De Geer 20 במרץ 2026

מהו הקבוע של ארדש-בורווין?

E = Σ 1/(2ⁿ-1) ≈ 1.60669…

1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ טרנסצנדנטיות: לא ידועה.

הקבוע של ארדש-בורווין E הוא הסכום 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ המכנים הם מספרי מרסן 2ⁿ − 1. פול ארדש הוכיח ב-1948 ש-E אי-רציונלי, באמצעות תכונות אלמנטריות בלבד של ייצוגים בינאריים.

Partial sums converging to the Erdős–Borwein constant E

The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.

הטור מתכנס מהר באופן גאומטרי: כל איבר הוא בערך חצי מהקודם (מכיוון ש-2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ עבור n גדול). אחרי 20 איברים בלבד הסכום מדויק עד 6 ספרות עשרוניות. השקילות E = Σ d(n)/2ⁿ (כאשר d(n) סופר מחלקים אי-זוגיים של n) מקשרת אותו לתורת המחלקות.

Erdős–Borwein converges faster than Basel

E = Σ 1/(2ⁿ−1) ≈ 1.6066951524…

Basel: Σ 1/n² ≈ 1.6449 – terms decrease as 1/n²

Erdős–Borwein: terms decrease as 1/2ⁿ – geometric decay, much faster convergence

השאלה האם E טרנסצנדנטי פתוחה. מה שהופך את הוכחת האי-רציונליות של ארדש לבלתי נשכחת הוא חסכנותה: הוא השתמש בעובדה שלייצוגים הבינאריים של המכנים 1, 3, 7, 15, 31… (שהם 1, 11, 111, 1111, 11111 בבינארי) יש מבנה מיוחד שמונע מהסכום להיות רציונלי. הערך: 1.60669515245214159769492939967985…

הקבוע של קטלן → הקבוע של אפרי → הקבוע של מייסל-מרטנס → הקבוע של צ'מפרנאון →

Series terms: denominators double each step, sum converges to E ~1.607

Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.

נושאים קשורים

ראשוניים Ln2 צ'מפרנאון

עובדות מפתח על הקבוע של ארדש-בורווין

הקבוע של ארדש-בורווין E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. פול ארדש הוכיח שהוא אי-רציונלי ב-1948 באמצעות תכונות בינאריות של המכנים 2^n - 1. הוא שווה לסכום d(n)/2^n כאשר d(n) סופר מחלקים אי-זוגיים של n. הטור מתכנס במהירות: כל איבר הוא בערך חצי מהקודם. האם הוא טרנסצנדנטי אינו ידוע. ערך: 1.60669515245214159769492939967985...

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

תן צורה שקולה של E הכוללת את פונקציית המחלק.

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.