Christoffer De Geer 20 Maret 2026

Apa itu Konstanta Erdős–Borwein?

E = Σ 1/(2ⁿ-1) ≈ 1.60669…

1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Transendensi: belum diketahui.

Konstanta Erdős–Borwein E adalah jumlah 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Penyebutnya adalah bilangan Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdős membuktikan pada 1948 bahwa E irasional, hanya dengan menggunakan sifat-sifat elementer dari representasi biner.

Partial sums converging to the Erdős–Borwein constant E

The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.

Deret ini berkonvergensi secara geometris dengan cepat: setiap suku kira-kira setengah dari suku sebelumnya (karena 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ untuk n besar). Setelah hanya 20 suku, jumlahnya sudah akurat hingga 6 tempat desimal. Kesetaraan E = Σ d(n)/2ⁿ (di mana d(n) menghitung pembagi ganjil dari n) menghubungkannya dengan teori keterbagian.

Erdős–Borwein converges faster than Basel

E = Σ 1/(2ⁿ−1) ≈ 1.6066951524…

Basel: Σ 1/n² ≈ 1.6449 – sukus decrease as 1/n²

Erdős–Borwein: sukus decrease as 1/2ⁿ – geometric decay, much lebih cepat convergence

Apakah E transendental masih terbuka. Yang membuat bukti irasionalitas Erdős berkesan adalah kehematannya: ia menggunakan fakta bahwa representasi biner dari penyebut 1, 3, 7, 15, 31… (yakni 1, 11, 111, 1111, 11111 dalam biner) memiliki struktur khusus yang mencegah jumlahnya menjadi rasional. Nilainya: 1.60669515245214159769492939967985…

Catalan's Constant → Apéry's Constant → Meissel-Mertens Constant → Champernowne Constant →

Series terms: denominators double each step, sum converges to E ~1.607

Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.

Topik terkait

Primes Ln2 Champernowne

Fakta singkat tentang Konstanta Erdős–Borwein

Konstanta Erdős–Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdős membuktikan bahwa bilangan ini irasional pada 1948 dengan menggunakan sifat-sifat biner dari penyebut 2^n - 1. Konstanta ini sama dengan jumlah d(n)/2^n, dengan d(n) menghitung pembagi ganjil dari n. Deretnya berkonvergensi cepat: setiap suku kira-kira setengah dari suku sebelumnya. Apakah bilangan ini transendental masih belum diketahui. Nilai: 1.60669515245214159769492939967985...

Digunakan dalam

∑Matematika

✓

⚛Fisika

–

⚙Teknik

–

🧬Biologi

–

💻Ilmu Komputer

✓

📊Statistika

–

📈Keuangan

–

🎨Seni

–

🏛Arsitektur

–

♪Musik

–

🔐Kriptografi

–

🌌Astronomi

–

⚗Kimia

–

🦉Filsafat

–

🗺Geografi

–

🌿Ekologi

–

Ingin menguji pengetahuan Anda?

Pertanyaan

Berikan bentuk ekuivalen dari E yang melibatkan fungsi pembagi.

ketuk · spasi

1 / 10

Siap bermain?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Main sekarang - gratis

Tanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.