Christoffer De Geer 20 martie 2026

Ce este constanta Erdos-Borwein?

E = Σ 1/(2ⁿ-1) ≈ 1.60669…

1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Transcendență: necunoscută.

Constanta Erdos-Borwein E este suma 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Numitorii sunt numerele Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdos a demonstrat în 1948 că E este irațional, folosind doar proprietăți elementare ale reprezentărilor binare.

Partial sums converging to the Erdős–Borwein constant E

The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.

Seria converge geometric de rapid: fiecare termen este aproximativ jumătate din cel precedent (deoarece 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ pentru n mare). După doar 20 de termeni suma este exactă până la 6 zecimale. Echivalența E = Σ d(n)/2ⁿ (unde d(n) numără divizorii impari ai lui n) o leagă de teoria divizibilității.

Erdős–Borwein converges faster than Basel

E = Σ 1/(2ⁿ−1) ≈ 1.6066951524…

Basel: Σ 1/n² ≈ 1.6449 – terms decrease as 1/n²

Erdős–Borwein: terms decrease as 1/2ⁿ – geometric decay, much faster convergence

Dacă E este transcendent rămâne o problemă deschisă. Ceea ce face memorabilă demonstrația iraționalității lui Erdos este economia ei: el a folosit faptul că reprezentările binare ale numitorilor 1, 3, 7, 15, 31… (care sunt 1, 11, 111, 1111, 11111 în binar) au o structură specială care împiedică suma să fie rațională. Valoarea: 1.60669515245214159769492939967985…

Constanta lui Catalan → Constanta lui Apéry → Constanta Meissel-Mertens → Constanta Champernowne →

Series terms: denominators double each step, sum converges to E ~1.607

Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.

Subiecte conexe

Numere prime Ln2 Champernowne

Date cheie despre constanta Erdos-Borwein

Constanta Erdos-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Paul Erdos a demonstrat că este irațională în 1948 folosind proprietățile binare ale numitorilor 2^n - 1. Este egală cu suma lui d(n)/2^n unde d(n) numără divizorii impari ai lui n. Seria converge rapid: fiecare termen este aproximativ jumătate din cel precedent. Dacă este transcendentă este necunoscut. Valoarea: 1.60669515245214159769492939967985...

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Daţi o formă echivalentă a lui E implicând funcţia divisorului.

tap · space

1 / 10

Gata de joc?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Joacă acum - e gratis

Fără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.