Cos'è la costante di Erdos-Borwein?
La costante di Erdos-Borwein E è la somma 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ I denominatori sono i numeri di Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdos dimostrò nel 1948 che E è irrazionale, usando solo proprietà elementari delle rappresentazioni binarie.
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
La serie converge geometricamente velocemente: ogni termine è circa la metà del precedente (poiché 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ per n grandi). Dopo appena 20 termini la somma è accurata a 6 decimali. L'equivalenza E = Σ d(n)/2ⁿ (dove d(n) conta i divisori dispari di n) la lega alla teoria della divisibilità.
Se E sia trascendente è un problema aperto. Ciò che rende memorabile la dimostrazione di irrazionalità di Erdos è la sua economia: egli usò il fatto che le rappresentazioni binarie dei denominatori 1, 3, 7, 15, 31… (che sono 1, 11, 111, 1111, 11111 in binario) hanno una struttura speciale che impedisce alla somma di essere razionale. Il valore: 1.60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
La costante di Erdos-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Paul Erdos ne dimostrò l'irrazionalità nel 1948 usando le proprietà binarie dei denominatori 2^n - 1. Essa è uguale alla somma di d(n)/2^n dove d(n) conta i divisori dispari di n. La serie converge rapidamente: ogni termine è circa la metà del precedente. Se sia trascendente è sconosciuto. Valore: 1.60669515245214159769492939967985...
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