Co je Erdosova-Borweinova konstanta?
Erdosova-Borweinova konstanta E je součtem 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Jmenovatele jsou Mersennova čísla 2ⁿ − 1. Paul Erdos dokázal v roce 1948, že E je iracionální, pomocí pouze elementárních vlastností binárních reprezentací.
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
Řada konverguje geometricky rychle: každý člen je zhruba polovina předchozího (protože 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ pro velká n). Po pouhých 20 členech je součet přesný na 6 desetinných míst. Ekvivalence E = Σ d(n)/2ⁿ (kde d(n) počítá liché dělitele n) ji spojuje s teoriou dělitelnosti.
Zda je E transcendentní, je otevřená otázka. To, co dělá Erdosův důkaz iracionality zapamatovatelným, je jeho úspornost: využil faktu, že binární reprezentace jmenovatelů 1, 3, 7, 15, 31… (které jsou 1, 11, 111, 1111, 11111 v binární soustavě) mají speciální strukturu, která brání tomu, aby součet byl racionální. Hodnota: 1.60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
Erdosova-Borweinova konstanta E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Paul Erdos dokázal v roce 1948, že je iracionální, pomocí binárních vlastností jmenovatelů 2^n - 1. Rovná se součtu d(n)/2^n, kde d(n) počítá liché dělitele n. Řada rychle konverguje: každý člen je zhruba polovina předchozího. Zda je transcendentní, je neznámé. Hodnota: 1.60669515245214159769492939967985...
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
