Τι είναι η σταθερά Erdős-Borwein;
Η σταθερά Erdős-Borwein E είναι το άθροισμα 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Οι παρονομαστές είναι οι αριθμοί Mersenne 2ⁿ − 1. Ο Paul Erdős απέδειξε το 1948 ότι η E είναι άρρητη, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις ιδιότητες των δυαδικών αναπαραστάσεων.
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
Η σειρά συγκλίνει γεωμετρικά γρήγορα: κάθε όρος είναι περίπου ο μισός του προηγούμενου (αφού 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ για μεγάλα n). Μετά από μόλις 20 όρους το άθροισμα είναι ακριβές σε 6 δεκαδικά ψηφία. Η ισοδυναμία E = Σ d(n)/2ⁿ (όπου d(n) μετρά τους περιττούς διαιρέτες του n) τη συνδέει με τη θεωρία της διαιρετότητας.
Το αν η E είναι υπερβατική είναι ανοιχτό. Αυτό που κάνει αξιομνημόνευτη την απόδειξη αρρητότητας του Erdős είναι η οικονομία της: χρησιμοποίησε το γεγονός ότι οι δυαδικές αναπαραστάσεις των παρονομαστών 1, 3, 7, 15, 31… (που είναι 1, 11, 111, 1111, 11111 στο δυαδικό) έχουν μια ειδική δομή που εμποδίζει το άθροισμα να είναι ρητό. Η τιμή: 1.60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
Η σταθερά Erdős-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Ο Paul Erdős απέδειξε ότι είναι άρρητη το 1948 χρησιμοποιώντας δυαδικές ιδιότητες των παρονομαστών 2^n - 1. Ισούται με το άθροισμα d(n)/2^n όπου d(n) μετρά τους περιττούς διαιρέτες του n. Η σειρά συγκλίνει ταχέως: κάθε όρος είναι περίπου ο μισός του προηγούμενου. Το αν είναι υπερβατική είναι άγνωστο. Τιμή: 1.60669515245214159769492939967985...
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
