Christoffer De Geer 2026. március 20.

Mi a Meissel-Mertens-konstans?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel és Mertens, 1874.

Add össze az összes n-ig terjedő prím reciprokát: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Ez növekszik, de rendkívül lassan: ln(ln(n)) szerint. A Meissel-Mertens-konstans M ennek az összegnek és domináns tagjának a pontos rése, ahogyan az Euler-Mascheroni-konstans γ a harmonikus sor és az ln(n) közötti rés.

Prime reciprocal sum grows like ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Euler 1737-ben bebizonyította, hogy az összes prím reciprokának összege divergál. Ez sokkal nehezebb, mint annak bizonyítása, hogy végtelen sok prím van, és mennyiségi képet ad arról, milyen sűrűn helyezkednek el a prímek. Mertens tétele ezután azt mondja, hogy Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), ahol M a pontos állandó tag.

M vs γ: two gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

M és γ kapcsolata: M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Az, hogy bármelyik konstans irracionális-e, ismeretlen. Mindkettőt milliárdnyi tizedesjegy pontossággal kiszámították, és transzcendensnek tartják őket, de egyikre sincs bizonyíték. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Euler-Mascheroni-konstans → Prímszámok → Prímszámtétel → Harmonikus sor →

Harmonic sum vs prime reciprocal sum: both diverge, at very different rates

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Analógia az Euler-Mascheroni-konstanssal

Az Euler-Mascheroni-konstans gamma a harmonikus sor (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) és az ln(n) közötti rést méri. A Meissel-Mertens-konstans M ugyanezt a szerepet játssza a prímek reciprokainak összegére (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) az ln(ln(n))-hez képest. Mindkettő a logaritmikusan növekvő divergens sorok "hibajavító" konstansa.

Fontos tények a Meissel-Mertens-konstansról

A Meissel-Mertens-konstans M ≈ 0.26149 ugyanazt a szerepet játssza a prímek reciprokai esetében, mint az Euler-Mascheroni-konstans a harmonikus sornál. Mertens 1874-ben bebizonyította, hogy 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + kis hiba. Az, hogy M irracionális-e, ismeretlen. Megjelenik a prímszorzatokra vonatkozó Mertens-tételben és a sima számok sűrűségében. M és gamma kapcsolata egy az összes prímre vett konkrét összeg.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Ki számolta ki M-et és mikor?

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.