Christoffer De Geer 2026. március 20.

Mi a Stirling-formula?

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relatív hiba < 1/(12n). De Moivre és Stirling fedezte fel egymástól függetlenül 1730-ban.

A Stirling-formula szerint nagy n-re n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Megdöbbentő, hogy a π és az e is megjelenik egy permutációk számlálásáról szóló képletben. n = 10-re a hiba 1% alatti. n = 100-ra 0,1% alatti. A képlet korlátlanul javul, ahogy n nő.

Stirling approximation: relative error rapidly → 0

The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.

Abraham de Moivre 1730-ban találta, hogy n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ valamilyen C állandóra. James Stirling ugyanabban az évben azonosította, hogy C = √(2π). A √(2π) a Gauss-integrálból ered: amikor a Stirling-formulát a gamma-függvényen keresztül vezetjük le, megjelenik az ∫e^(-t²)dt = √π integrál, amely beviszi a π-t a képletbe.

Stirling's formula: logarithmic form

ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn)

Equivalent: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relative error → 0 as n → ∞. Exact for all practical purposes when n ≥ 20.

A logaritmikus alakot a fizika egészében használják: a statisztikus mechanikában Boltzmann entrópiaképlete, S = k·ln(W), megköveteli ln(N!) kiszámítását hatalmas N-re (mólnyi részecskére). A Stirling-formula szerint ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, ami kezelhetővé teszi. A teljes aszimptotikus sor korrekciókat ad hozzá: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)

Euler-féle szám e → Gauss-integrál → Taylor-sor → Euler-Mascheroni-állandó → Pi (π) →

log(n!) grows exactly as Stirling predicts

On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.

Kapcsolódó témák

Gamma E Prímszámtétel

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

✓

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Mi a Stirling‑közelítés relatív hibája?

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.