Christoffer De Geer 20 martie 2026

Ce este aproximarea lui Stirling?

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Eroare relativă < 1/(12n). Descoperită independent de de Moivre și Stirling în 1730.

Aproximarea lui Stirling spune că pentru n mare, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Apariția atât a lui π cât și a lui e într-o formulă despre numărarea permutărilor este izbitoare. Pentru n = 10 eroarea este sub 1%. Pentru n = 100 este sub 0.1%. Formula se îmbunătățește nelimitat pe măsură ce n crește.

Stirling approximation: relative error rapidly → 0

The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.

Abraham de Moivre a descoperit în 1730 că n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ pentru o anumită constantă C. James Stirling a identificat C = √(2π) în același an. √(2π) provine din integrala gaussiană: la deducerea aproximării lui Stirling prin funcția Gamma, apare integrala ∫e^(-t²)dt = √π, care aduce π în formulă.

Stirling's formula: logarithmic form

ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn)

Equivalent: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relative error → 0 as n → ∞. Exact for all practical purposes when n ≥ 20.

Forma logaritmică este folosită peste tot în fizică: în mecanica statistică, formula entropiei a lui Boltzmann S = k·ln(W) necesită ln(N!) pentru N uriaș (moli de particule). Stirling dă ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, făcând-o tractabilă. Seria asimptotică completă adaugă corecții: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)

Numărul lui Euler e → Integrala gaussiană → Seria Taylor → Constanta Euler-Mascheroni → Pi (π) →

log(n!) grows exactly as Stirling predicts

On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.

Subiecte conexe

Gamma E Teorema numerelor prime

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

✓

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Care este eroarea relativă a aproximării lui Stirling?

tap · space

1 / 10

Gata de joc?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Joacă acum - e gratis

Fără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.