Що таке наближення Стірлінга?
Наближення Стірлінга стверджує, що для великих n n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Поява одразу π та e у формулі про підрахунок перестановок вражає. Для n = 10 похибка менша за 1%. Для n = 100 вона менша за 0.1%. Формула поліпшується без обмеження зі зростанням n.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Абрагам де Муавр знайшов 1730 року, що n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ для деякої сталої C. Джеймс Стірлінг визначив C = √(2π) того ж року. √(2π) виникає з інтеграла Гаусса: при виведенні Стірлінга через гамма-функцію з'являється інтеграл ∫e^(-t²)dt = √π, що вносить π у формулу.
Логарифмічну форму використовують усюди у фізиці: у статистичній механіці формула ентропії Больцмана S = k·ln(W) потребує ln(N!) для величезних N (молі частинок). Стірлінг дає ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, роблячи її розв'язною. Повний асимптотичний ряд додає поправки: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
