Christoffer De Geer 2026. március 20.

Mi a Gauss-integrál?

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. A bizonyítás polárkoordinátákat használ 2D-ben.

Az e^(−x²) függvény a haranggörbe: x = 0 esetén 1-ben éri el csúcsát, és mindkét irányban szimmetrikusan 0-hoz tart. A teljes valós számegyenes mentén alatta lévő terület pontosan √π ≈ 1.7724. Ez figyelemre méltó: az e és a π, amelyekkel általában külön szövegkörnyezetekben találkozunk, egyesülnek a valószínűségelmélet legegyszerűbb integráljában.

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

A bizonyítás a matematika egyik legelegánsabb trükkje. Legyen I = ∫e^(−x²)dx. Számítsuk ki I²-t úgy, hogy kettős integrálként írjuk fel x és y szerint, majd térjünk át r, θ polárkoordinátákra. Az integrandus e^(−r²) lesz, a területelem pedig r·dr·dθ. Az r teszi elemivé az integrált: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Megszorozva ∫₀^(2π) dθ = 2π-vel azt kapjuk, hogy I² = π, tehát I = √π.

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

A normális eloszlás, a centrális határeloszlás-tétel, a kvantum-hullámfüggvények (amelyek Gauss-hullámcsomagokat használnak) és a faktoriálisok Stirling-közelítése mind ezen az egyetlen integrálon nyugszik. A √π érték mindenütt megjelenik, ahol e^(−x²)-et integrálunk, ami a folytonos valószínűségben szinte mindenhol előfordul.

Pi (π) → Euler-féle szám e → Stirling-közelítés → Wallis-szorzat → A differenciál- és integrálszámítás alaptétele →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

Kapcsolódó témák

Pi E A differenciál- és integrálszámítás alaptétele

Fontos tények a Gauss-integrálról

A Gauss-integrál: az e^(-x^2) dx integrálja mínusz végtelentől plusz végtelenig = sqrt(pi). Az elegáns bizonyítás négyzetre emeli az integrált, áttér polárkoordinátákra, és pontosan kiértékeli. Ez a kulcsszámítás a normális eloszlás mögött: az (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) valószínűségi sűrűségfüggvény integrálja 1. A Gauss-függvény megjelenik a kvantummechanikában, a hődiffúzióban, a Stirling-közelítésben és a centrális határeloszlás-tételben.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Mi az n-dimenziós Gauss integrál?

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.