Mi az Euler-Mascheroni-állandó (γ)?
Az 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ harmonikus sor divergál, de hihetetlenül lassan nő. Egymillió tag után alig éri el a 14-et. Az ln(n) természetes logaritmus ugyanilyen ütemben nő. Az Euler-Mascheroni-állandó γ a kettő közötti pontos eltérés: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow – the gap is still 0.001 at n = 1000.
A γ az analízisben és a számelméletben mindenhol megjelenik. Összeköti a harmonikus sort a Riemann-féle zéta-függvénnyel: γ = -ζ'(1) formális értelemben. Megjelenik a gamma-függvényben Γ'(1) = -γ, a prímhézagok eloszlásában, a Bessel-függvényekben és a digamma-függvény aszimptotikus kifejtésében.
Az, hogy a γ racionális vagy irracionális-e, a matematika egyik legrégebbi nyitott problémája. Szinte minden matematikus úgy véli, hogy transzcendens, de nem létezik rá bizonyítás. Több mint 600 milliárd tizedesjegyig kiszámították: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
Az Euler-Mascheroni-állandó gamma megközelítőleg 0.57721566490153286060. Az, hogy racionális vagy irracionális-e, ismeretlen, a matematika egyik leghíresebb nyitott problémája. Euler először 1734-ben publikálta; Mascheroni egymástól függetlenül 1790-ben számította ki. A gamma megjelenik a gamma-függvényben, a Riemann-féle zéta-függvényben, a prímszorzatokra vonatkozó Mertens-tételben, a Bessel-függvényekben és a prímhézagok eloszlásában. Mivel nem létezik folyamatos algoritmus, a számjegyeit előre kiszámítják és tárolják.
Euler-Mascheroni-állandó γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonikus-logaritmus határérték.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
