Mi a prímszámtétel?
Jelölje π(n) az n-ig terjedő prímek számát. A prímszámtétel szerint π(n) úgy nő, mint n/ln(n). Ahogy n nagyobb lesz, az n közelében körülbelül minden ln(n)-edik szám prím. Egymillió közelében nagyjából minden 14. szám prím. Egymilliárd közelében minden 21.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss az eredményt 1800 körül sejtette meg, miután prímtáblázatokat tanulmányozott. 1896-ban egymástól függetlenül bizonyította be Jacques Hadamard és Charles-Jean de la Vallée Poussin, mindketten a Riemann-féle zéta-függvényt és a komplex analízist felhasználva. Egy tisztán elemi (komplex analízis nélküli) bizonyítást egymástól függetlenül talált Selberg és Erdős 1948-ban.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
A Riemann-sejtés adná a legélesebb korlátot a hibára: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Nélküle csak annyit tudunk, hogy a hiba o(n/ln(n)). Ezért a Riemann-sejtés a matematika legfontosabb nyitott problémája: pontosan megmondaná, mennyire kiszámíthatók a prímhézagok.
A pi(n)-nek az n/ln(n)-nél pontosabb közelítése az integrállogaritmus Li(n) = a 2-től n-ig vett dt/ln(t) integrál. Gauss ezt a formát részesítette előnyben. n = 1 000 000 esetén n/ln(n) 72 382-t ad, míg Li(n) 78 628-at, szemben a pontos 78 498-as értékkel. A Li(n) hibája sokkal kisebb. A Riemann-sejtés pontosan a sqrt(n) * ln(n) értékre korlátozná ezt a hibát.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
