Mi a Taylor-sor?
A Taylor-sor bármely sima függvényt végtelen polinomként fejez ki. Minden együttható egy derivált: az n-edik tag f⁽ⁿ⁾(a)/n! szorozva (x-a)ⁿ-nel. A jól viselkedő függvényekre, mint az eˣ, sin(x) és cos(x), a sor mindenhol a pontos függvényértékhez konvergál.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
A három legfontosabb Maclaurin-sor: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (mindenhol konvergál); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (mindenhol konvergál); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (mindenhol konvergál). Ha x = iπ-t behelyettesítünk az eˣ sorba, megkapjuk az Euler-azonosságot.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor 1715-ben mondta ki az általános tételt; a 0 körül középre helyezett speciális esetet Colin Maclaurin tette népszerűvé 1742-ben. Minden számológép és számítógép Taylor-sorokat használ a transzcendens függvények kiértékelésére. Az n tag utáni hibát a Lagrange-féle maradéktag korlátozza: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
A Taylor-sor egy sima függvényt végtelen polinomként ábrázol: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Az együtthatók az a középpontban vett deriváltak. A Maclaurin-sorok a 0-ra vannak középre helyezve. A három kulcssor mindenhol konvergál: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Ha x = i*pi-t helyettesítünk az e^x sorba, bizonyítjuk az Euler-azonosságot. Minden számológép belsőleg Taylor-sorokat használ a transzcendens függvények kiértékelésére.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
